Voici l'énoncé du problème de mathématiques, l'élément le plus contesté de l'épreuve de maths du bac S.

Soit N0 le nombre de bactéries introduites dans un milieu de culture à l'instant t=0 (N0 étant un réel strictement positif, exprimé en millions d'individus). Ce problème a pour objet l'étude des deux modèles d'évolution de cette population de bactéries:

Un premier modèle pour les instants qui suivent l'ensemencement (partie A)

Un second modèle pouvant s'appliquer sur une longue période (partie B).

Partie A

Dans les instants qui suivent l'ensemencement du milieu de culture, on considère que la vitesse d'accroissement des bactéries est proportionnelle au nombre de bactéries en présence. Dans ce premier modèle, on note Ÿ(t) le nombre de bactéries à l'instant t (exprimé en millions d'individus). La fonction Ÿ est donc solution de l'équation différentielle : y' = ay (où a est un réel strictement positif dépendant des conditions expérimentales).

1. Résoudre cette équation différentielle, sachant que

Ÿ(0) = N0

2. On note T le temps de doublement de la population bactérienne. Démontrer que, pour tout réel t positif :

Ÿ(t) = N02t/T

Partie B

Le milieu étant limité (en volume, en éléments nutritifs..), le nombre de bactéries ne peut pas croître indéfiniment de façon exponentielle. Le modèle précédent ne peut donc s'appliquer sur une longue période. Pour tenir compte de ces observations, on représente l'évolution de la population de bactéries de la façon suivante: Soit g(t) le nombre de bactérie